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1      0     Vorbemerkungen
1      0.0  Abkürzungen, Vorbemerkungen, Beweismethoden
 
              Direkter Beweis
2           Indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis

3      0.1  Mengen
            Definition, gleiche Mengen, leere-, Teilmengen
4           Vereinigung, Schnitt, Differenz, disjunkte
5           Komplement, Potenzmenge,kartesisches Produkt
8           Rechenregeln,Folgerungen
9           System von Mengen

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Gesamt-Inhaltsverzeichnis

Nur Definitionen und Sätze zu  0.x.x

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100   0.2  Relationen, Funktionen
           Definition Relation, Äquivalenzrelation,
           Äquivalenzklassen
102        Äquivalenzklassen und Partitionen
105        Funktion, Definitionsbereich, Wertebereich, Urbild
107        Eigenschaften von Bild und Urbild einer Funktion f

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200   0.2f  Injektive, surjektive, bijektive Abbildungen
202         Verkettete Abbildungen
203         Identische Abbildungen

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300   1    Axiomatische Einführung der reellen und komplexen Zahlen
300   1.1  Definition Körper, Körperaxiome
304        Abgeleitete Rechenregeln (RR) in
K

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400   1.2  Die Anordnungsaxiome
400        Abgeleitete Rechenregeln in einem angeordneten Körper (RR<)
405        Maximum, Minimum
406        Absolutbetrag
407        Dreiecksungleichung
410        Vorzeichen

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500   1.3  Das Vollständigkeitsaxiom und die Definition der reellen Zahlen
500        Schranken, Supremum, Infimum, Maximum, Minimum
504        Definition vollständiger Körper
505        Definition Intervalle, Dedekindsche Schnitte
513        Quadratwurzel

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600   1.4  Funktionenräume, gerade/ungerade Funktionen, beschränkte Funktion
601        Definition monotone Funktionen

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700   1.5  Die natürlichen Zahlen und das Prinzip der vollständigen Induktion
700        Definition Induktive Mengen, natürliche Zahlen
701        Vollständige Induktion
702 
              Rechenregeln in
N
7
05        Archimedisches Prinzip
706         Wohlordnungssatz
709        Summen, Produkte
715        Unleichung von Bernoulli

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750  1.5f  Abzählbare Mengen
751        Abzählberes kartesisches Produkt
752        Abzählbarkeit rationaler Zahlen
756        Maximum und Minimum zu Mengen
           Ganze, rationale, irrationale Zahlen
758
        
   N, Z, Q  sind abzählbar, R und R\Q  sind überabzählbar
758
        Das größte Ganze
761      Division mit Rest
762       g-Adische Zahlendarstellung
763       Intervallschachtelungsprozess

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800   1.6  Die komplexen Zahlen
802        Eigenschaften der komplexen Zahlen
803        Potenz komlexer Zahlen

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900   1.7  Einige Identitäten, Ungleichungen und Definitionen
901        Teleskopsumme
903        Endliche geometrische Reihe
904        Abelsche partielle Summation
905        Fakultät, Binominalkoeffizient
908        Binominalsatz

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1000  1.8  Arithmetisches und geometrisches Mittel
1000       AGM Ungleichung

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1100  1.9  Polynome, Nullstellen, grad, rationale Funktionen
1000       Nullstellen
1104       Divisionssatz
1106       Identitätssatz für Polynome

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1150 1.9f Cauchy-Schwarz Ungleichung, Lagrange Identität
1151      Cauchy Produkt von Polynomen
1152
       Minkovsky Ungleichung, Interpolation mit Polynomen
           H
auptsatz der Polynominterpolation
1153         Lagrange Darstellung des Interpolationspolynoms
          Interpolationspolynom Newtonsche Darstellung
1155      Wurzelfunktion
1157      nte Wurzelfunktion

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1200  2    Kapitel Konvergenz von Folgen und Reihen
1200  2.1  Konvergenz/Divergenz und Grenzwert, Nullfolge
1202       Sandwichsatz, komplexe Folgen/Konvergenz
1207       Beschränkte Folge
1207       Nullfolgen

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1250 2.1f  Eigenschaften konvergenter Folgen
1250     
Cauchyfolge
1255       Vergleiche von Folgen

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1300  2.2  Reelle, insbesondere monotone Folgen
1300       Definition Teilfolge, Umordnung,
           triviale Abänderung
1301       Konvergenz von Teilfolgen, Umordnungen
und
            trivialen
Abänderungen konvergenter Folgen, monotone Konvergenz
1307       Monotone Teilfolge
1308      Bolzano Weierstraß (BW)
  
       Konvergenzkriterium von Cauchy
1315
       Division durch Multiplikation und Addition
  
       Wurzelziehen durch Division und Multiplikation und
Addition

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1400  2.3  Expotential-, Logarithmus- und
           Potenzfunktionen
1403       Intervallschachtelung für e
           Expotentialfunktion Beschränkung
1404       Expotentialfunktion komplex
 1409      Definition e: Eulersche Zahl,
          reelle-, komplexe Expotentialfunktion

                      Eigenschaften Expotentialfunktion

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1500  2.4  Häufungswerte (HW), Häufungspunkte (HP) von Zahlenfolgen
1502      Bolzano Weierstrass (BW)
1505      min H, max H.
1507      limes superior, limes inferio
rBeschränkung, konvergente 1509       Beschränkte, konvergente Folgen und Häufungswert

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1550  2.5  Doppelfolgen
1550       konvergente
1550       Cauchysches Konvergenzkriterium
1551       Iterierter Limes
1553
        Gleichmäßige Konvergenz

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1600  3    Unendliche Reihen
      3.1  Definition unendliche Reihen, nte Partialsumme
           Konvergenz
1601       Konvergenz/Divergenz der geometrischen Reihe
1602       Rechenregeln für unendliche Reihen
1605       Teleskopreihe
1606       alternierende Reihe
1607     
Leibniz Kriterium

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1450 2.3f
1451
       exp: R(0,) ist bijektiv
1452        natürliche Expotentialfunktion mit Basis e
           Umkehrfunktion log(0,)
R
     
              
      natürlicher Logarithmus oder
           Logarithmus zur Basis e
1453
      Eigenschaften des Logarithmus
1455       Potenz zur Basis a mit Exponenten b
           allgemeine Expotentialfunktion, Logarithmusfunktion
           allgemeine Potenzfunktion
           Eigenschaften dieser Funktionen
1459       Wichtige Grenzwerte

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1700  3.2  Reihen mit nicht-negativen Gliedern,
           absolut konvergente Reihen sind konvergent
1701       Majorantenkriterium, Minorantenkriterium
1702       Wurzelkriterium
1704       Quotientenkriterium
1717     
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
1718      Verdichtungssatz von Cauchy

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1750  3.2f Umordnung,unbedingt-, bedingt konvergent
1752       Riemannscher Umordnungssatz
1755       Absolute Konvergenz_unbedingte Konvergenz

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1765 3.2ff Def Doppelreihen, Doppelreihensatz
1769       Cauchyscher Doppelreihensatz
1779       Großer Umordnungssatz
1781       Vertauschung von Grenzwerten
1783       Expotentialfunktion, Expotentialreihe
1785      Reihen-Cauchy-Produkt
1786       Cauchy-Produktsatz

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1800  3.3  Dual- und Dezimalzahlen
1801       g-adische Zahldarstellung reeller Zahlen
1803       g-adische Entwicklung
1804       periodische Entwicklung
Q

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1900  3.4  Abelsche partielle Summation, Dirichlet-Kriterium
1901    
Konvergenzkriterium von Du Bois-Reymond
1902
         Konvergenzkriterium nach Dedekind

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2000  3.5  Potenzreihen
           Konvergenzradius, Berechnung mit Wurzel
2003       Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen

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2050  3.5f Konvergenzradius
           „differenzierte“ „integrierte“ Reihe
2053     
Umentwicklung einer PR
2056     Abelscher Grenzwertsatz

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2100  3.6  Spezielle Potenzreihen und Funktionen
           Eigenschaften der komplexen Expotentialfunktion
2103       Einheitskreis, Bogenmaßwinkel
2105       Umfang Einheitskreis, Zusammenhang Expotentialfkt
           Definitionen sin, cos
2106     
Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

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2150 3.6f  Hyperbolische Funktionen
           Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen

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2200  4    Funktionsgrenzwerte und stetige Funktionen
2200  4.1  Topologische Begriffe
           Umgebung, Menge aller inneren Punkte,
           offener Kern von M, offene Menge
2201       Häufungspunkt,
abgeschlossene Hülle von M
           Kompakte Menge, Randpunkt, isolierter Punkt,
                        uneigentlicher HP von M
2002       Definitionen für
C
2203         Vereinigung aller offenen Teilmengen von M
2204
         Durchschnitt aller geschlossenen Obermengen von M

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2300  4.2  Funktionsgrenzwerte, Konvergenz Funktionenfolgen
2300       Definitionen Konvergenz von Funktionen
2303       Monotone Funktion
           beschränkte Funktion
2304       Funktionen Konvergenz Folgenkriterium
2305       Funktionen Konvergenz Cauchykriterium
2307       Funktionen Konvergenz Grenzwertregeln
2315       Grenzwert monotoner & beschränkter Funktionen

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2400  4.3  Stetige Funktionen
2403       Folgenstetigkeit
2405       Rechenregeln für Stetigkeit
2411       Stetigkeit bei glm konvergenter Funktionenfolge
2412       gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge

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2500  4.4  Hauptsätze über stetige Funktionen
2500       Zwischenwertsatz zu stetigen Funktionen
2501       Nullstellen

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2530  4.4f Umkehrfunktion und Stetigkeit
2
533       sin cos Werte zwischen 0 und 2
2534       Definition
2535       Periodizitäten und Idenditäten der 
           trigonometrischen Funktionen
2536       Umkehrfunktionen zu sin, cos,...
2536       Parametrisierung des Einheitskreises in
C
2539      Definition Logarithmus

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2560 4.4ff Globale Extrema
2563       Gleichmäßige Stetigkeit
2565       Gleichmäßige Stetigkeit von f
2567       Beschränktheit f(M)

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Nur Definitionen und Sätze zu  5.x.x

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2700  5    Differentialrechnung
  
   5.1  Der Begriff der Ableitung, höhere Ableitungen
2702       stetig differenzierbar
2704       Differenzierbarkeit
2706       Differenzieren Potenzreihen, Konvergenzradius
           differenzierte Reihe
2710       Expotential-, trigonometrische-, hyperbolische
           Funtionen sind differenzierbar

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2750  5.1f Differentiationsregeln
2755       Folgerungen,
           Ableitungen:
           rationale Funktionen,trigonometrische,
           hyperbolische Funktionen,
Logarythmus, (ax)’,
                     (Arcsinh x)’, Arccosh x)’
2757       Produktregel für höhere Ableitungen

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2800  5.2  Extrema, Mittelwertsätze der Differentialrechnung
2800       notwendige Bedingung für lokale Extrema
2802     
Satz von Rolle
2803      Mittelwertsatz der Differentialrechnung
2804       Erweiterter Mittelwertssatz der
           Differentialrechnung
           Monotonie und Ableitung
2806    
notwendige Bedingung für lokale Extrema anderer Beweis
2807      Maximum, Minimum
2808      Zwischenwertsatz von Darboux
2810      Näherungen Newtonverfahren

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2850 5.2f  1.)Grenzwertregel von de l’Hospital
2856       konvexe bzw. konkave Funktionen

2857       Satz von Young
2858       Satz von Hölder, Minkovsky
2859       Konvexität und Ableitung
2860       Satz zu Konvexität (Konkavität)

2863       Wendepunkt, notwendige Bedingung  
           Trigonometrische Funktionen

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2900  5.3  Der Satz von Taylor
2900       n-fache Nullstellen von Funktionen
2901       Potenzreihen....Ableitungen
2902       n-tes Taylorpolynom und Restglied
2903       Satz von Taylor
2911       Taylorreihe um Entwicklungspunkt x0.
2914       Hinreichende Bedingung für lokale Extrema bzw. Wendepunkte

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3000  5.4_5.5_5.6
3000  5.4  Gliedweises Differenzieren
3000     
Vertauschung von Grenzwertübergängen
3002
      Gliedweises differenzieren von Folgen und Reihen3004        
3006  5.5  Die Zahl Pi und die Arcusfunktion
3006       Nullstellen der trigonometrischen Funktionen
           Ableitung arc... Funktionen
3007  5.6  Das Argument und der Logarithmus einer komplexen Zahl
3008      
z=r(cos +isin)=rei

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3100  6    Integralrechnung3100
        6.1  Riemannsummen und Riemannintegral
   
         Zerlegungen, Zwischenpunktvektoren
3101       Ober- und Untersummen, Ober-, Unterintegral
3102       Definition Integrierbarkeit
3103       Zusammenhänge zu Ober-, Untersummen
3107       Ober-, Untersummen, Ober-, Unterintegral
3113       Riemann-Integrierbarkeit und Zwischenpunktsummen
3116       Riemann Integrierbarkeitskriterium
3117        Fundamentalabschätzung

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3200  6.2  Integrierbarkeit von Funktionen
3200       Setige und monotone Funktionen R-integrierbar
3204       Produkte, Summen integrierbarer Funktionen
3205       f<g
3206       Verknüpfte Funktionen und Lipschitzbedingung
3207       Integration über [a,c],[c,b]
3209       Mittelwertsatz der Integralrechnung

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3300  6.3  Hauptsätze der Differenzial- und Integralrechnung
3303       Stammfunktin, Hauptsatz der DI
3307       F+c Stammfunktion

3400  6.4  Weitere Ergebnisse
3400       Partielle Integration
3402       Substitutionsregel
3405       Integration von Ungleichungen
3410       Mittelwert, Mittelwertsatz der Integralrechnung
3411       Erweiterter Mittelwertsatz der Integralrechnung
3412       2. Mittelwertsatz der Integralrechnung
3413       Gliedweise Integration

3500  6.5  Die Partialbruchzerlegung
3500       Fundamentalsatz der Algebra
3504       Partialbruchzerlegung im Komplexen
3507       Partialbruchzerlegung reeller rationaler Funktionen

3600  6.6  Der Taylorsche Satz
3600       n fache Stammfunktion
3601     
Satz von Taylor
3603       lokale Max/Min und 2n- 2n+1 fache Differenzierung
3604       Taylorpolynom und Restglied
3605       Binominalreihe

3700  6.7  Uneigentliche Integrale
3702       Cauchy Kriterium für uneigentliche Integrale
3703       absolut uneigentlich integrierbar
zu uneigentlichen Integralen
3704      absolute Konvergenz...
          Konvergenz zu
          Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale
3705       Integralkriterium für Reihen

3800  6.8  Die Gamma-Funktion
           Eulersche Summenformel

3900  6.9  Einführung zu Parameterintegralen

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Nur Definitionen und Sätze zu 1.xxx

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Nur Definitionen und Sätze zu  2x.x

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Nur Definitionen und Sätze zu  3.x.x

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Nur Definitionen und Sätze zu  4.x.x.

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2350  4.2f Funktionenfolgen,
           punktweise-, gleichmäßige Konvergenz
2309       Funktionenreihen
           punktweise-, gleichmäßige Konvergenz
2310    
Funktionenfolge Cauchykriterium

2312     Funktionenreihen Cauchykriterium
2312       Majorantenkriterium zu Funktionenreihen

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Nur Definitionen und Sätze zu  6.x.x

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2450 4.3f  Stetigkeit Potenzreihen
2454     
Identitätsssatz für Potenzreihen
2455       Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen
2459       Fibonnacizahlen

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Folgende Texte werden zur Zeit überarbeitet. Zur Hilfe kann aber vieles (z.B. Aufgaben mit Lösungen) verwendet werden

Analysis 1