Analysis & Lineare Algebra

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1      0     Vorbemerkungen

1     0.0  Abkürzungen, Vorbemerkungen, Beweismethoden
              Direkter Beweis
2           Indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis

3     0.1  Mengen
            Definition, gleiche Mengen, leere-, Teilmengen
4           Vereinigung, Schnitt, Differenz, disjunkte
5           Komplement, Potenzmenge,kartesisches Produkt
8           Rechenregeln,Folgerungen
10          System von Mengen

100    0.2  Relationen, Funktionen
            Definition Relation, Äquivalenzrelation,
            Äquivalenzklassen
102         Partition
105         Funktion, Definitionsbereich, Wertebereich, Urbild
107         Eigenschaften von Bild und Urbild einer Funktion f
200   0.2f  Injektive, surjektive, bijektive Abbildungen
202         Verkettete Abbildungen
203         Identische Abbildungen

300    1    Axiomatische Einführung der reellen und
            komplexen Zahlen

300   1.1  Definition Körper, Körperaxiome
304        Abgeleitete Rechenregeln (RR) in K

400   1.2  Die Anordnungsaxiome
400        Abgeleitete Rechenregeln in einem angeordneten
           Körper (RR<)
405        Maximum, Minimum
407        Absolutbetrag
408        Dreiecksungleichung
412        Vorzeichen

500   1.3  Das Vollständigkeitsaxiom und die Definition der
           reellen Zahlen
500        Schranken, Supremum, Infimum
505        Definition vollständiger Körper
506        Definition Intervalle, Dedekindsche Schnitte
515        Quadratwurzel

600   1.4  Funktionenräume, gerade/ungerade Funktionen,
       monotone Funktionen
600        Beschränkte Funktion
601        Definition monotone Funktionen

700   1.5  Die natürlichen Zahlen und das Prinzip der
       vollständigen Induktion
700        Definition Induktive Mengen, natürliche Zahlen
702        Vollständigen Induktion
703        Rechenregeln in N
705        Vollständige Induktion 2. Fassung
707        Archimedisches Prinzip
            Wohlordnungssatz
711        Summen, Produkte
718        Unleichung von Bernoulli
750   1.5f P15f
750        Abzählbare…. Mengen
           Teilmengen abzählbarer Mengen
751        Abzählbares kartesisches Produkt
752        Abzählbarkeit rationaler Zahlen
758        Maximum und Minimum zu Mengen
758        Ganze, rationale, irrationale Zahlen
760          N, Z, Q sind abzählbar, R und R\Q sind überabzählbar
759        Das größte Ganze
764        Division mit Rest
764        g-Adische Zahlendarstellung
766        Intervalle, Intervallschachtelungsprozess

800   1.6  Die komplexen Zahlen
801        Eigenschaften der komplexen Zahlen
803        Potenz komplexer Zahlen

900   1.7  Einige Identitäten, Ungleichungen und Definitionen
901        Teleskopsumme
904        Endliche geometrische Reihe
           Abelsche partielle Summation
906        Fakultät, Binominalkoeffizient
906        Identitäten zu Binominalkoeffizienten
908        Binominalsatz

1000  1.8  Arithmetisches und geometrisches Mittel
1000       AGM Ungleichung

1100  1.9  Polynome, Nullstellen, grad, rationale Funktionen
1103       Nullstellen
1106       Divisionssatz
1107       Identitätssatz für Polynome
1150  1.9f
1150       Cauchy-Schwarz Ungleichung
1151       Lagrange Identität
1152       Cauchy Produkt von Polynomen
1152       Minkovsky Ungleichung, Interpolation mit Polynomen
1153       Hauptsatz der Polynominterpolation
1153       Lagrange Darstellung des Interpolationspolynoms
1153       Interpolationspolynom Newtonsche Darstellung
1155       Wurzelfunktion
1157       nte Wurzelfunktion

Analysis

1200  2    Kapitel Konvergenz von Folgen und Reihen

1200  2.1  Konvergenz und Grenzwert
1209       Beschränkte Folge
1210       Nullfolgen
1250 2.1f  Cauchyfolge
1250       Eigenschaften konvergenter Folgen
1255       Vergleiche von Folgen

1300  2.2  Reelle, insbesondere monotone Folgen
           Monotone Folgen,Definition Teilfolge, Umordnung,
           triviale Abänderung
1301       Monotone Konvergenz
           Konvergenz von Teilfolgen, Umordnungen und
            trivialen Abänderungen konvergenter Folgen
1307       monotone Teilfolge
1308       Bolzano Weierstraß (BW)
1308       Konvergenzkriterium von Cauchy
1309       Uneigentliche Kovergenz
1315       Division durch Multiplikation und Addition
1315       Wurzelziehen durch Division und Multiplikation und
           Addition

1400  2.3  Expotential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen
           bis 1403 verschiedene Sätze
1403       Intervallschachtelung für e
           Expotentialfunktion Beschränkung
1404       Expotentialfunktion komplex
1408       e: Eulersche Zahl,
           reelle-, komplexe Expotentialfunktion
1409       Eigenschaften Expotentialfunktion

1450  2.3f
1451       exp: R(0,) ist bijektiv
1452        natürliche Expotentialfunktion mit Basis e
           Umkehrfunktion log(0,) R
                     natürlicher Logarithmus bzw Logarithmus zur Basis e
1453       Eigenschaften des Logarithmus
1455       Potenz zur Basis a mit Exponenten b
1456       allgemeine Expotentialfunktion, Logarithmusfunktion
           allgemeine Potenzfunktion
1456       Eigenschaften dieser Funktionen
1460       Wichtige Grenzwerte

1500  2.4  Häufungswerte (HW) von Zahlenfolgen
           Häufungspunkte (HP) von Mengen
1502       Bolzano Weierstrass (BW)
1504       Cauchyfolge
1505       min H, max H.
1507       limes superior, limes inferior
1509       Beschränkte, konvergente Folgen und Häufungswert

1550  2.5  Doppelfolgen
1550       konvergente
1550       Cauchysches Konvergenzkriterium
1551       Iterierter Limes
1552        Gleichmäßige Konvergenz

1600  3    Unendliche Reihen
      3.1  Definition unendliche Reihen, nte Partialsumme
           Konvergenz
1602       Konvergenz/Divergenz der geometrischen Reihe
           Rechenregeln für unendliche Reihen
1605       Teleskopreihe
1606       alternierende Reihe
1607       Leibniz Kriterium

1700  3.2  Reihen mit nicht-negativen Gliedern,
           absolut konvergente Reihen sind konvergent
1701       Majorantenkriterium, Minorantenkriterium
1702       Wurzelkriterium
1704       Quotientenkriterium
1717       Cauchy-Schwarz-Ungleichung
1719       Verdichtungssatz von Cauchy

1750  3.2f Umordnung,unbedingt-, bedingt konvergent
1753       Riemannscher Umordnungssatz
1756       Absolute Konvergenz_unbedingte Konvergenz


1765 3.2ff Def Doppelreihen, Doppelreihensatz
1769       Cauchyscher Doppelreihensatz
1779       Großer Umordnungssatz
1781       Vertauschung von Grenzwerten
1782       Expotentialfunktion,
1783       Expotentialreihe
1784       Reihen-Cauchy-Produkt
1784       Cauchy-Produktsatz

1800  3.3  Dual- und Dezimalzahlen
1801       g-adische Zahldarstellung reeller Zahlen
1803       g-adische Entwicklung
1805       periodische Entwicklung Q

1900  3.4  Abelsche partielle Summation, Dirichlet-Kriterium
1901       Konvergenzkriterium von Du Bois-Reymond
1902         Konvergenzkriterium nach Dedekind

2000  3.5  Potenzreihen
2001       Konvergenzradius, Berechnung mit Wurzel
2004       Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen

2100  3.6  Spezielle Potenzreihen und Funktionen
           Eigenschaften der komplexen Expotentialfunktion
2102       Einheitskreis, Bogenmasswinkel
2103       Umfang Einheitskreis, Zusammenhang Expotentialfkt
2104       Definition hyperbolische Funktionen
2105       Eigenschaften hyperbilische Funktionen
2104       Definitionen sin, cos
2107       Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


2200  4    Funktionsgrenzwerte und stetige Funktionen
2200  4.1  Topologische Begriffe
           Umgebung, Menge aller inneren Punkte,
           offener Kern von M, offene Menge
2201       Häufungspunkt, abgeschlossene Hülle von M
           Kompakte Menge, Randpunkt, isolierter Punkt,
           uneigentlicher HP von M
2203       Vereinigung aller offenen Teilmengen von M
2205       Durchschnitt aller geschlossenen Obermengen von M


2300  4.2  Funktionsgrenzwerte, Konvergenz Funktionenfolgen
2300       Definitionen Konvergenz von Funktionen
2302       dto für Körperelemente
2303       Monotone Funktion
2304       beschränkte Funktion
2304       Funktionen Konvergenz Folgenkriterium
2307       Funktionen Konvergenz Cauchykriterium
2310       Funktionen Konvergenz Grenzwertregeln
2320       Grenzwert monotoner & beschränkter Funktionen

2350  4.2f Funktionenfolgen,
           punktweise-, gleichmäßige Konvergenz
2355       Funktionenreihen
           punktweise-, gleichmäßige Konvergenz
2356       Funktionenfolge Cauchykriterium
2356       Funktionenreihen Cauchykriterium
2361       Majorantenkriterium zu Funktionenreihen

2400  4.3  Stetige Funktionen
2401       ...komplexe Mengen
2408       Expotential-, trigonom.-, hyperb. Funktionen
2409       Folgenstetigkeit
2409       Rechenregeln für Stetigkeit

2450 4.3f  Stetigkeit Potenzreihen
2455       Identitätsssatz für Potenzreihen
2455       Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen
2459       Fibonnacizahlen

2500  4.4  Hauptsätze über stetige Funktionen
2500       Zwischenwertsatz zu stetigen Funktionen
2501       Nullstellen

2530  4.4f Umkehrfunktion und Stetigkeit
2532       sin cos Werte zwischen 0 und 2,
2534       cos, kleinste positive Nullstelle
2535       Definition Pi
2537       Periodizitäten und Idenditäten der 
           trigonometrischen Funktionen
2540       Umkehrfunktionen zu sin, cos,...
2541       Parametrisierung des Einheitskreises in C
2544       Definition Logarithmus

2560 4.4ff Globale Extrema
2563       Gleichmäßige Stetigkeit
2564       Gleichmäßige Stetigkeit von f
2565       Beschränktheit f(M)


2600   4.5  Punktweise/gleichmäßige Konvergenz von
            Funktionenfolgen und -Reihen
2602        Cauchykriterium Funktionenfolgen und -Reihen
2604        Majorantenkriterium
2609        Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit     

2700  5    Differentialrechnung
      5.1  Der Begriff der Ableitung, höhere Ableitungen
2702       stetig differenzierbar
2704       Differenzierbarkeit
2707       Differenzieren Potenzreihen, Konvergenzradius
           differenzierte Reihe
2711       Expotential-, trigonometrische-, hyperbolische
           Funtionen sind differenzierbar

2750  5.1f Differentiationsregeln
2755       Folgerungen,
           Ableitungen:
           rationale Funktionen,trigonometrische,
           hyperbolische Funktionen, Logarythmus, (ax)’,
                      (Arcsinh x)’, Arccosh x)’
2757       Produktregel für höhere Ableitungen

2800  5.2  Extrema, Mittelwertsätze der Differentialrechnung
2800       notwendige Bedingung für lokale Extrema
2802       Satz von Rolle
2803       Mittelwertsatz der Differentialrechnung
2804       Erweiterter Mittelwertssatz der
           Differentialrechnung
           Monotonie und Ableitung
2806       notwendige Bedingung für lokale Extrema anderer Beweis
2807       Maximum, Minimum
2808       Zwischenwertsatz von Darboux
2810       Näherungen Newtonverfahren

2850 5.2f  Grenzwertregel von de l’Hospital
2856       konvexe bzw. konkave Funktionen
2861       Wendepunkt, notwendige Bedingung
           Trigonometrische Funktionenräume

2900  5.3  Der Satz von Taylor
2900       n-fache Nullstellen von Funktionen
2901       Potenzreihen und Ableitungen
2903       n-tes Taylorpolynom und Restglied
2904       Satz von Taylor
2912       Taylorreihe um Entwicklungspunkt x0.
2916       Hinreichende Bedingung für lokale Extrema bzw.
           Wendepunkte


3000  5.4_5.6
3000  5.4  Gliedweises Differenzieren
3000       Vertauschung von Grenzwertübergängen
3002       Gliedweises differenzieren von Folgen und Reihen
3007  5.6  Das Argument und der Logarithmus einer komplexen Zahl
3008       z=r(cos +isin)=rei
                   log z 

3100  6    Integralrechnung3100
      6.1  Riemannsummen und Riemannintegral
              Zerlegungen, Zwischenpunktvektoren
3101       Ober-, Unterintegral
3102       Riemann integrierbar
3103       Verfeinerung zur Zerlegung
3107       Ober- und Untersummen, Ober-, Unterintegral
3113       Riemann-Integrierbarkeit und Zwischenpunktsummen
3117       Riemann Integrierbarkeitskriterium
3119       Fundamentalabschätzung

3200  6.2  Integrierbarkeit von Funktionen
3200       Setige und monotone Funktionen R-integrierbar
3204       Produkte, Summen integrierbarer Funktionen
3202       Lipschitzbedingung und Integrierbarkeit
3207       Integration über [a,c],[c,b]
3209       Mittelwertsatz der Integralrechnung

3300  6.3  Hauptsätze der Differenzial- und Integralrechnung
3303       Stammfunktion
3303       Hauptsatz der DI
3307       F+c Stammfunktion

3400  6.4  Weitere Ergebnisse
3400       Partielle Integration
3402       Substitutionsregel
3409       Integration von Ungleichungen
3410       Mittelwert, Mittelwertsatz der Integralrechnung
3411       Erweiterter Mittelwertsatz der Integralrechnung
3412       2. Mittelwertsatz der Integralrechnung
3413       Gliedweise Integration

3500  6.5  Die Partialbruchzerlegung
3500       Fundamentalsatz der Algebra
3504       Partialbruchzerlegung im Komplexen
3507       Partialbruchzerlegung reeller rationaler Funktionen


3600  6.6  Der Taylorsche Satz
3600       n fache Stammfunktion
3602       Satz von Taylor
3603       lokale Max/Min und 2n- 2n+1 fache Differenzierung
3604       Taylorpolynom und Restglied
3606       Binominalreihe

3700  6.7  Uneigentliche Integrale
3702       Cauchy Kriterium für uneigentliche Integrale
3703       absolut uneigentlich integrierbar zu uneigentlichen
           Integralen
3704       absolute Konvergenz...
           Konvergenz zu
           Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale
3705       Integralkriterium für Reihen


Lineare Algebra

Definition Vektorraum

Gesamt-Inhaltsverzeichnis